Pavages réguliers : propriétés

Propriété

L'hexagone régulier réalise un pavage régulier du plan.

Preuve

La figure suivante montre la jonction de trois hexagones réguliers de même dimension.

Les trois angles à la jonction mesurent chacun \(120°\).
Comme \(3\times 120°=360°\), on en conclut que la juxtaposition de trois hexagones se fait sans recouvrement ni trous. On en déduit que l'hexagone régulier réalise un pavage régulier du plan.

Remarque

On observe cela dans les carrelages en tomettes hexagonales typiques du Sud de la France.

Théorème

Les seuls polygones réguliers qui réalisent un pavage régulier du plan sont les triangles équilatéraux, les carrés et les hexagones réguliers.

Démonstration

Le cas de l'hexagone régulier est traité ci-dessus.
En suivant le même raisonnement, on trouve que la jonction au sommet se fait sans recouvrements ni trous :

• avec \(6\) triangles équilatéraux : en effet, chaque angle à l'intérieur du triangle équilatéral mesurant \(60°\), on a \(6\times 60°=360°\);
• avec \(4\) carrés : en effet, chaque angle à l'intérieur du carré mesurant \(90°\), on a \(4\times 90°=360°\).
  

Il ne reste qu'à démontrer que ce sont les seuls cas possibles.

On conclut rapidement, en observant que :

• dans le cas du pentagone régulier, chaque angle à l'intérieur du pentagone régulier mesure \(108°\) et il n'existe aucun \(n\) naturel tel que \(n\times 108°=360°\);
• pour un nombre de côtés supérieur ou égal à \(7\), soit \(\alpha\) la mesure de l'angle à l'intérieur du polygone régulier. On en déduit \(360°<3\alpha\) et \(2\alpha<360°\). Cela ne permet pas d'obtenir un pavage sans trous ni recouvrements.